Question

数列{a_n}中an+1+an=3n-54(n∈N*)．
（1）若a₁=-20，求数列的通项公式；
（2）设S_n为{a_n}的前n项和，证明：当a₁＞-27时，有相同的n，使S_n与|a_n+1+a_n|都取最小值．

Answer 1

（1）∵an+1+an=3n-54(n∈N*)，
∴a_n+2+a_n+1=3n-51
∴两式相减得a_n+2-a_n=3，
∴a₁，a₃，a₅，与a₂，a₄，a₆，都是d=3的等差数列
∵a₁=-20，∴a₂=-31，
①当n为奇数时，a_n=

3n-43

2

；②当n为偶数时，a_n=

3n-68

2

∴a_n=

3n-43 2 ，n为奇数 3n-68 2 ，n为偶数

；
（2）n=18时，|a_n+1+a_n|有最小值0；
①当n为偶数时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=（3×1-54）+（3×3-54）+…+[3（n-1）-54]=3[1+3+5+…+（n-1）]-

n

2

×54=

3

4

n²-27n=

3

4

（n-18）²-243，
∴当n=18时，（S_n）_min=-243；
②当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n）=

3

4

n²-27n+

105

4

+a₁=

3

4

（n-18）²-216

3

4

+a₁，
∴当n=17或19时（S_n）_min=a₁-216＞-243；
综上，当n=18时（S_n）_min=-243．
∴当a₁＞-27时，有相同的n，使S_n与|a_n+1+a_n|都取最小值．