Question

已知双曲线经过点，其渐近线方程为y=±2x．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F₁，F₂是双曲线的两个焦点，证明：AF₁⊥AF₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，双曲线C的一条渐近线方程为 y=±2x，将点C坐标代入方程，列出关于a，b的方程，解出a，b，进而可得答案．
（2）由（1）得，，，从而以F₁F₂为直径的圆的方程，再根据点的坐标满足方程x²+y²=5，得出点A在以F₁F₂为直径的圆上，最终得出AF₁⊥AF₂．
解答：（1）解：依题意…（3分）      
解得 …（5分）
所以双曲线的方程为．…（6分）
（2）由（1）得，，，
从而以F₁F₂为直径的圆的方程是x²+y²=5．…（9分）
因为点的坐标满足方程x²+y²=5，
故点A在以F₁F₂为直径的圆上，所以AF₁⊥AF₂．…（12分）
点评：本题考查双曲线的方程、双曲线的简单性质，涉及双曲线的方程与其渐近线的方程之间的关系，要求学生熟练掌握，注意题意要求是标准方程，答案必须写成标准方程的形式．