题目内容

△ABC的外接圆的直径为1，三个内角A、B、C的对边为a、b、c， $数学公式$ ， $数学公式$ ，已知 $数学公式$ ．
（1）求sinA+sinB的取值范围；
（2）若abx=a+b，试确定实数x的取值范围．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴acosA-bcosB=0．
由正弦定理知， $\text{[math]}$ ，∴a=sinA，b=sinB．
∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B．
∵A，B∈（0，π），∴2A=2B或2A+2B=π．
∴A=B， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴sinA+sinB的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
（2）∵abx=a+b，∴sinA•sinB•x=sinA+sinB
∴ $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递增，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，故x的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）通过 $\text{[math]}$ 推出acosA-bcosB=0，结合正弦定理化简此式，推出A，B的关系，然后求sinA+sinB的取值范围；
（2）利用abx=a+b，结合正弦定理，推出x的表达式，利用换元法，结合函数的单调性，试确定实数x的取值范围．
点评：本题是中档题，考查正弦定理的应用，三角函数的最值，注意换元法的应用，函数的单调性是求最值的一种方法，考查计算能力，转化思想．