Question

【题目】已知椭圆：（）的左焦点为，其中四个顶点围成的四边形面积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与曲线交于，两点，设的中点为，，两点为椭圆上关于原点对称的两点，且（），求四边形面积的最小值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)4

【解析】

（1）将四边形面积表示为的代数式，结合焦点坐标，联立方程组，求解即可；

（2）设出直线的方程，利用弦长公式求得，再利用，建立直线与之间的联系，再利用点到直线的距离，以及面积公式，将四边形面积表示为函数形式，求该函数的最小值即可.

（1）因为左焦点为，故可得；

因为四个顶点围成的四边形面积为，故可得.

联立，

解得

故椭圆方程为.

（2）因为，故两点不可能重合，

则直线的斜率不可能为0，

故可设直线方程为，

联立椭圆方程，

可得，

设两点坐标分别为，

则可得，

则

故可得，

因为，故可得四点共线，

故可得.

不妨设直线方程为，，

联立直线与椭圆方程

可得，

设，

则，即

则，即

则点到直线的距离为：

将代入上式即可得：

，，

故

又根据弦长公式可得：

故四边形面积

，

因为，故可得，

当且仅当时，四边形面积取得最小值4.

故四边形面积的最小值为.