Question

已知等比数列{a_n}的公比q＞1，前n项和为S_n，S₃=7，a₁+3，3a₂，a₃+4成等差数列，数列{b_n}的前n项和为T_n，6T_n=（3n+1）b_n+2，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；     
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设A={a₁，a₂，…，a₁₀}，B={b₁，b₂，…，b₄₀}，C=A∪B，求集合C中所有元素之和．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式即可得出；
（2）利用“n=1时b₁=T₁；n≥2时，b_n=T_n-T_n-1”和“累乘求积”即可得出．
（3）利用等差数列和等比数列的前n项和公式可得S₁₀，T₁₀，又A与B的公共元素为1，4，16，64，其和为85．即可得出集合C中所有元素之和．

解答：解：（1）∵S₃=7，∴a₁+a₂+a₃=7，
∵a₁+3，3a₂，a₃+4成等差数列，∴6a₂=a₁+3+a₃+4，
联立可得

a1(1+q+q2)=7 6a1q=a1+a1q2+7

，解得

a1=1 q=2

．
∴an=2n-1．
（2）∵6T_n=（3n+1）b_n+2，其中n∈N^*．当n≥2时，6T_n-1=（3n-2）b_n-1+2，b₁=1．
∴6b_n=（3n+1）b_n+1-（3n-2）b_n-1，
化为

bn

bn-1

=

3n-2

3n-5

．
∴b_n=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

•…•

b2

b1

•b1
=

3n-2

3n-5

•

3n-5

3n-8

•…•

4

1

×1=3n-2．
（3）S10=

210-1

2-1

=210-1=1023，T40=

3×40×41

2

-80=2380，
∵A与B的公共元素为1，4，16，64，其和为85．
∴C=A∪B，集合C中所有元素之和为1023+2380-85=3318．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式、利用“n=1时b₁=T₁；n≥2时，b_n=T_n-T_n-1”、“累乘求积”、集合运算等基础知识与基本技能方法，属于难题．