Question

已知函数f（x）=ln（1+x），g(x)=a+bx-

1

2

x2+

1

3

x3，函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在交点（0，0）处有公共切线
（1）求a、b；
（2）证明：f（x）≤g（x）；
（3）对任意的x₁、x₂∈（-1，+∞），（x₁＜x₂），当x∈（x₁，x₂）时，证明：

f(x)-f(x1)

x-x1

＞

f(x)-f(x2)

x-x2

．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在交点（0，0）处有公共切线，建立方程，可求a、b的值；
（2）令h（x）=f（x）-g（x），证明h（x）在（-1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数，求得h（x）_max=h（0）=0，即可证得结论；
（3）设u（x）=（1+x）[f（x）-f（x₁）]-（x-x₁），证明当x∈（x₁，x₂）时，u（x）单调递增，利用u（x₁）=0，可得u（x）＞0，从而可得

f(x)-f(x1)

x-x1

＞

1

1+x

，同理可证

f(x)-f(x2)

x-x2

＜

1

1+x

．

解答：（1）解：求导函数可得f′(x)=

1

1+x

，g′（x）=b-x+x²，
∵函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在交点（0，0）处有公共切线
∴g（0）=0，f′（0）=g′（0）
∴a=0，b=1．                       …（4分）
（2）证明：令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x+

1

2

x2-

1

3

x3（x＞-1），∴h′（x）=-

x3

x+1

…（5分）
令h′（x）＞0可得-1＜x＜0；h′（x）＜0可得x＜-1或x＞0，∵x＞-1，∴x＞0，
∴h（x）在（-1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数．                   …（6分）
∴h（x）_max=h（0）=0，
∴h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤g（x）．          …（8分）
（3）证明：设u（x）=（1+x）[f（x）-f（x₁）]-（x-x₁），则u′（x）=ln（1+x）-ln（1+x₁）．
当x∈（x₁，x₂）时，u′（x）＞0，u（x）单调递增，
又u（x₁）=0，故u（x）＞0，即

f(x)-f(x1)

x-x1

＞

1

1+x

．                        …（10分）
设v（x）=（1+x）[f（x₂）-f（x）]-（x₂-x），则v′（x）=ln（1+x₂）-ln（1+x）．
当x∈（x₁，x₂）时，v′（x）＞0，v（x）单调递增，
又v（x₂）=0，故v（x）＞0，即

f(x)-f(x2)

x-x2

＜

1

1+x

．                
综上，x∈（x₁，x₂）时，证明：

f(x)-f(x1)

x-x1

＞

f(x)-f(x2)

x-x2

．    …（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，正确构建函数，合理运用导数是关键．