Question

（2013•大连一模）.已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{

2n

an

}前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0?

1

an+1

-

1

an

=1，利用等差数列的概念即可证得数列{

1

an

}是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

2n

an

=n•2ⁿ，S_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ，利用错位相减法即可求得数列{

2n

an

}前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0，
∴

an+1+an•an+1-an

an•an+1

=0，
∴

1

an+1

-

1

an

=1，（3分）
又

1

a1

=1，
∴数列{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列．（4分）
∴

1

an

=1+（n-1）×1=n，a_n=

1

n

．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

2n

an

=n•2ⁿ．
S_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ．①
2S_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹．②（9分）
由①-②得-S_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹．
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．（12分）

点评：本题考查数列的求和，考查等差关系的确定，求得a_n=

1

n

是关键，突出考查错位相减法求和，属于中档题．