Question

18.如下图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.

(Ⅰ)求四棱锥S-ABCD的体积；

(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.

Answer 1

18.本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力.

　

解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是

M_底面＝(BC+AD)·AB=×1=，        

∴四棱锥S-ABCD的体积是V＝×SA×M_底面＝×1×＝.           

 

（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱.

∵AD∥BC，BC＝2AD，

∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB，

∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，

又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角.               

∵SB＝＝，BC＝1，BC⊥SB，

∴tanBSC==.即所求二面角的正切值为.