Question

已知f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意a，b∈R且当a+b≠0时，都满足

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）求证：f（x）在R上是的增函数；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在R上是的增函数；
（2）利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0进行转化，即可求实数m的取值范围．

解答：解：（1）不妨设x₁＜x₂，由

f(a)+f(b)

a+b

＞0，
得

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，
又f（x）是定义域为R的奇函数，
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
而x₁-x₂＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函数．
（2）∵f（x）是奇函数，
∴不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0?f（mt²+1）＞f（mt-1），
∵f（x）在R上是增函数，
∴对任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立
即mt²+1＞mt-1对任意的t∈R恒成立
即mt²-mt+2＞0对任意的t∈R恒成立．
当m=0时，不等式即为2＞0恒成立，合题意； 
当m≠0时，有

m＞0 △=m2-8m＜0

，
即0＜m＜8
综上：实数m的取值范围为0≤m＜8．

点评：本题主要考查函数单调性与奇偶性的应用，综合考查函数性质的综合应用．