Question

一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a₁a₂a₃a₄a₅，其中A的各位数字中，a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出现0的概率为

1

3

，出现1的概率为

2

3

．例如：A=10001，其中a₁=a₅=1，a₂=a₃=a₄=0．记ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，当启动仪器一次时     
（Ⅰ）求ξ=3的概率；      
（Ⅱ）求ξ的概率分布列及Eξ

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得：P（ξ=3）=

C

2 4

•(

1

3

)2•(

2

3

)2，由此能求出ξ=3的概率．
（Ⅱ）由题设知，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）由题意得：P（ξ=3）=

C

2 4

•(

1

3

)2•(

2

3

)2=

8

27

．
（Ⅱ）由题设知，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，
且P（ξ=1）=

C

0 4

(

1

3

)4=

1

81

，
P（ξ=2）=

C

1 4

(

1

3

)3(

2

3

) =

8

81

，
P（ξ=3）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

，
P（ξ=4）=

C

3 4

(

1

3

) (

2

3

)3=

32

81

，
P（ξ=5）=

C

4 4

(

2

3

)4=

16

81

，
故ξ的概率分布列为：

ξ	1	2	3	4	5
P	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

∴Eξ=1×

1

81

+2×

8

81

+3×

24

81

+4×

32

81

+5×

16

81

=

11

3

．

点评：本题考查离散型随机变量的概率分布列和数学期望，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．