Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x，
（1）试确定f（x）的单调性；
（2）数列{a_n}满足a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，且a1=

1

2

，S_n表示{a_n}的前n项之和
①求数列{a_n}的通项；   
②求证：S_n＜n+1-ln（n+2）．

Answer 1

（1）∵f′(x)=

1

x+a

-1，
由

1

x+a

-1＞0，得-a＜x≤1-a，
由

x+a＞0 1 x+a -1＜0

，得x＞1-a，
故f（x）在（-a，1-a]上是单调增函数，在[1-a，+∞）上是单调减函数．
（2）①∵a_na_n+1-2a_n+1+1=0，
∴an+1=

1

2-an

，1-an+1=1-

1

2-an

=

1-an

2-an

，
∴

1

1-an+1

=

2-an

1-an

=

1

1-an

 +1(a1≠1)，
∴{

1

1-an

}是公差为1的等差数列，且首项为

1

1-a1

=2，
故

1

1-an

=n+1，
∴an=1-

1

n+1

．
②由（1）知，当a=1时，f（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）是单调减函数，又f（0）=0，
∴x＞0，f（x）＜f（0）=0，即ln（1+x）＜x．
∴对于k∈N₊，

1

k+1

＞ln(1+

1

k+1

)=ln（k+2）-ln（k+1），
∵ak=1-

1

k+1

＜1-(ln(k+2)-ln(k+1))，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
＜1-（ln3-ln2）+1-（ln4-ln3）+…+（ln（n+2）-ln（n+1））
=n+ln2-ln（n+2）
＜n+1-ln（n+2）．