Question

已知曲线y=xlnx（x＞）在点（t，tlnt）处的切线l交x轴于点A，交y轴于点B，△AOB（O为坐标原点）的面积为S，
（Ⅰ）试写出S关于t的函数关系式；
（Ⅱ）求面积S的最小值；
（Ⅲ）若对于t＞恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）曲线在点（t，tlnt）处的切线斜率为y′=1+lnt，
设 A（m，0），B（0，n），
则，解得，
所以，
注意到时，1+lnt＞0，
故为所求；
（Ⅱ）记，则S′=g′（t）=，
，
∴时，S′＜0；时，S′＞0，
即函数S=g（t）在上单调递减，在上单调递增，
，
所以面积S的最小值为，当且仅当时取到；
（Ⅲ）由，及1+lnt＞0得，对t＞恒成立，
记u（t）=，则u′（t）=，
当，即a＜0或a≥e时，u′（t）＞0恒成立，
此时u（t）在上单调递增，
∴，解得a＜0或a≥2e²+2e，
当，即0＜a＜e时，u′（t）＞0，
所以函数u（t）在上单调递减，在上单调递增，
此时，
∴，此方程无解；
综上，a＜0或a≥2e²+2e为所求。