Question

【题目】已知函数，．

（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；

（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；

（Ⅲ）证明： ．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ)求出与，由且解方程组可求的值；（Ⅱ）恒成立等价于恒成立，先证明当时恒成立，再证明时不恒成立，进而可得结果；（Ⅲ））由，令，

即，即，令 ，各式相加即可得结果.

试题解析：(Ⅰ)由题意可知，和在处有相同的切线，

即在处且，

解得.

（Ⅱ）现证明，设，

令，即，

因此，即恒成立，

即，

同理可证.

由题意，当时，且，

即，

即时，成立.

当时，，即不恒成立.

因此整数的最大值为2.

（Ⅲ）由，令，

即，即

由此可知，当时，，

当时，，

当时，，

……

当时，.

综上：

.

即.