Question

设是定义在R上的函数，且对任何x₁、x₂∈R都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂)，若?f(0)≠0,f′(0)=1.

       (1)求f(0)的值;

       (2)证明对任何x∈R，都有=f′(x).

      

Answer 1

(1)解析：∵f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂)对任意x₁∈R，x₂∈R都成立.?

       ∴令x₁=x₂=0,得f(0)=f²(0).?

       ∵f(0)≠0,∴f(0)=1.?

       (2)证明：∵f′(0)=1,?

       ∴=f′(0)=1.?

       ∴f′(x)=?

       =?

       =·

       =·

       =·f′(0)= .?

       ∴对任何x∈R，都有=f′(x).