Question

定义在R上的函数f（x）满足：对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（2）=2，则f（x）在[-3，3]上的最大值为______．

Answer 1

解：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，由题意得f（x₂-x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在R是增函数；
又∵f（2）=2?f（1）+f（1）=f（2）=2f（1）?f（1）=1
∴f（3）=f（1）+f（2）=3．
∵f（x）在[-3，6]上是增函数，
∴f（x）_max=f（3）=3
故答案为：3．
分析：先设x₁＜x₂，通过f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）来判断f（x₂）与f（x₁）的大小关系；得到其单调性，再通过赋值即可得到结论．
点评：本题主要考查了函数奇偶性、单调性的判断，对于抽象函数奇偶性的判断一般采取取特殊值的方法．