Question

设函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（a，f（a））处的切线与直线x-y=0平行，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）的图象在点（a，f（a））处的切线与直线x-y=0平行，建立方程，即可求实数a的值；
（Ⅱ）求导数，令导数为0，进而比较两根的大小，确定导数的正负，即可求函数f（x）的极值．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是{x|x＞0}．…（1分）
对f（x）求导数，得f′(x)=2x-(a+2)+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

．…（3分）
由题意，得a＞0，且f′（a）=1，
解得a=2．…（5分）
（Ⅱ）由f′（x）=0，得方程2x²-（a+2）x+a=0，
一元二次方程2x²-（a+2）x+a=0存在两解x₁=1，x2=

a

2

，…（6分）
当x₂≤0时，即当a≤0时，随着x的变化，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

即函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
所以函数f（x）在x=1存在极小值f（1）=-a-1；          …（8分）
当0＜x₂＜1时，即当0＜a＜2时，随着x的变化，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

x	(0， a 2 )	a 2	( a 2 ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

即函数f（x）在(0，

a

2

)，（1，+∞）上单调递增，在(

a

2

，1)上单调递减．
所以函数f（x）在x=1存在极小值f（1）=-a-1，在x=

a

2

存在极大值f(

a

2

)=aln

a

2

-a-

a2

4

；…（10分）
当x₂=1时，即当a=2时，
因为f′(x)=

2(x-1)2

x

≥0（当且仅当x=1时等号成立），
所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，故不存在极值；           …（12分）
当x₂＞1时，即当a＞2时，随着x的变化，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	(1， a 2 )	a 2	( a 2 ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

即函数f（x）在（0，1），(

a

2

，+∞)上单调递增，在(1，

a

2

)上单调递减．
所以函数f（x）在x=1存在极大值f（1）=-a-1，在x=

a

2

存在极小值f(

a

2

)=aln

a

2

-a-

a2

4

；
综上，当a≤0时，函数f（x）存在极小值f（1）=-a-1，不存在极大值；
当0＜a＜2时，函数f（x）存在极小值f（1）=-a-1，存在极大值 f(

a

2

)=aln

a

2

-a-

a2

4

；
当a=2时，函数f（x）不存在极值；
当a＞2时，函数f（x）存在极大值f（1）=-a-1，存在极小值f(

a

2

)=aln

a

2

-a-

a2

4

．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．