Question

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna，a＞1．
（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）对?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导数，利用条件判断函数导数的符号，进而判断函数的单调性．
（2）求出函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值，然后利用不等式恒成立的条件进行求参数a的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna． …（2分）
由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a^x-1＞0，所以f′（x）＞0，…（5分）
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）
（2）由（1）可知，当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，
故函数f（x）在（-∞，0）上单调递减．…（7分）
所以，f（x）在区间[-1，0]上单调递减，在区间[0，1]上单调递增．
所以f_min=f（0）=1，f_max=max{f（-1），f（1）}．…（9分）
f（-1）=

1

a

+1+lna，f（1）=a+1-lna，
f（1）-f（-1）=a-

1

a

-2lna，
记g（x）=x-

1

x

-2lnx，则g′（x）=1+

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2，（当x=1时取到等号），所以g（x）=x-

1

x

-2lnx递增，
故f（1）-f（-1）=a-

1

a

-2lna＞0    …（11分）
所以f（1）＞f（-1），于是f_max=f（1）=a+1-lna．（12分）
故对?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|_max=|f（1）-f（0）|=a-lna，所以a-lna≤e-1，所以1＜a≤e．…（14分）

点评：本题考查导数在研究函数中的两个应用：研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值．要使不等式恒成立，只要e-1大于等于最大值与最小值之差即可．