Question

设f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，且对任意a，b∈[-2，2]，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0，且f（2）=2，
（1）判定并证明f（x）在[-2，2]上的单调性；
（2）若f（x）≤m²-2pm+2对任意p∈[-1，1]及任意x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）不妨设a＞b，得

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，所以f（a）+f（-b）＞0，由f（x）是定义在R上的奇函数，能得到f（a）＞f（b）．
（2）依题意，只需f（x）max≤m²-2pm+2．构造h（p）=m²-2pm=-2pm+m²，看作关于p的函数．
利用一次函数性质求解．

解答：解：（1）∵对任意a，b∈[-2，2]，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0，
不妨设a＞b，∴a-b＞0，
∴f（a）+f（-b）＞0，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）＞0，
∴f（a）＞f（b）；
知f（x）在[-2，2]上是单调递增函数，
（2）任意x∈[-2，2]，f（x）∈[f（-2），f（2）]，即f（x）∈[-2，2]，
只需f（x）max≤m²-2pm+2．即m²-2pm+2≥2，m²-2pm≥0对任意p∈[-1，1]恒成立．
令h（p）=m²-2pm=-2pm+m²，看作关于p的函数．
当m=0时，h（p）=0符合题意．
当m≠0时，需

h(-1)≥0 h(1)≥0

即

m2+2m≥0 m2-2m≥0

，解得m≥2或m≤-2综上所述，m的取值范围是m=0或m≥2或m≤-2

点评：本题考查解函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易出错．解题时要认真审题，注意转化思想的灵活运用．