题目内容

设F为抛物线x²=8y的焦点，点A，B，C在此抛物线上，若 $数学公式$ ，则 $数学公式$ =________．

12
分析：由题意可得焦点F（0，2），准线为 y=-2，由条件可得F是三角形ABC的重心，可得 2= $\text{[math]}$ ，
由抛物线的定义可得 $\text{[math]}$ =（y₁+2）+（y₂+2）+（y₃+2）．
解答：由题意可得 p=4，焦点F（0，2），准线为 y=-2，由于 $\text{[math]}$ ，
故F是三角形ABC的重心，设 A、B、C 的纵坐标分别为 y₁，y₂，y₃，
∴2= $\text{[math]}$ ，∴y₁+y₂+y₃=6．
由抛物线的定义可得 $\text{[math]}$ =（y₁+2）+（y₂+2）+（y₃+2）=12．
故答案为：12．
点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到 y₁+y₂+y₃=6，是解题的关键．

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（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

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