Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

（1-a）x²-（a-1）x-1-lnx
（1）若函数f（x）在x=2处的切线与直线 y=-

1

2

x-2013垂直，求实数a的值；
（2）当a=2时，求函数g（x）=f′（x） 的单调区间；
（3）试讨论函数h（x）=f′（x）+x³+（a-2）x²-（a²+a-

5

4

）x+

1

x

的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）在x=2处的切线与直线 y=-

1

2

x-2013垂直，知f′（2）=2，由此可求a值；
（2）当a=2时，可求g（x），利用导数与函数单调性的关系可求其单调区间；
（3）求出h′（x），然后利用导数与函数单调性的关系解含参的二次不等式即可．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x2-(1-a)x-(a-1)-

1

x

，
因为函数f（x）在x=2处的切线与直线 y=-

1

2

x-2013垂直，所以f′（2）=2，
即4-2（1-a）-（a-1）-

1

2

=2，解得a=-

1

2

，
所以a=-

1

2

．
（2）当a=2时，g（x）=f′（x）=x2+x-1-

1

x

，
g′（x）=2x+1+

1

x2

，因为x∈（0，+∞），所以g′（x）＞0，
故g（x）的单调增区间是∈（0，+∞）．
（3）h（x）=f′（x）+x³+（a-2）x²-（a²+a-

5

4

）x+

1

x

=x3+(a-1)x2-(a2-

1

4

)x-(a-1)，
h′（x）=3x2+2(a-1)x-(a2-

1

4

)=3[x-（a-

1

2

）]（x-

2a+1

6

），
①当a-

1

2

=

2a+1

6

即a=1时，h′（x）=3(x-

1

2

)2≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a-

1

2

＜

2a+1

6

≤0即a≤-

1

2

时，由h′（x）＞0⇒x＞0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a-

1

2

≤0＜

2a+1

6

即-

1

2

＜a≤

1

2

时，由h′（x）＞0⇒x＞

2a+1

6

，由h′（x）＜0⇒0＜x＜

2a+1

6

，函数h（x）在（0，

2a+1

6

）上单调递减，在（

2a+1

6

，+∞）上单调递增；
④当0＜a-

1

2

＜

2a+1

6

即

1

2

＜a＜1时，由h′（x）＞0⇒0＜x＜a-

1

2

或x＞

2a+1

6

，函数h（x）在（0，a-

1

2

），（

2a+1

6

，+∞）上单调递增，在（a-

1

2

，

2a+1

6

）上单调递减；
⑤当a-

1

2

＞

2a+1

6

即a＞1时，由h′（x）＞0⇒0＜x＜

2a+1

6

或x＞a-

1

2

，函数h（x）在（0，

2a+1

6

），（a-

1

2

，+∞）上单调递增，在（

2a+1

6

，a-

1

2

）上单调递减；
综上，当a=1时，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；当

1

2

＜a＜1时，函数h（x）的增区间是（0，a-

1

2

），（

2a+1

6

，+∞），减区间是（a-

1

2

，

2a+1

6

）；
当-

1

2

＜a≤

1

2

时，函数h（x）的增区间是（

2a+1

6

，+∞），减区间是（0，

2a+1

6

）；当a≤-

1

2

时，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞1时，函数h（x）的增区间是（0，

2a+1

6

），（a-

1

2

，+∞），减区间是（

2a+1

6

，a-

1

2

）．

点评：本题考查导数的几何意义、导数与函数单调性的关系，考查含参的二次不等式的解法及分类讨论思想，难度较大．