Question

素材1：a=(cosα,sin0α),

b=(cosβ,sin β)(0＜α＜β＜π);

素材2：a+b与a-b相互垂直;

素材3：|ka+b|=|ka-b|(k∈R,k≠0);

素材4:β-α=.

Answer 1

构建问题（一）：已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)（0＜α＜β＜π）,求证:a+b与a-b相互垂直.

解析：a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),

a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),

又（a+b）·(a-b)

=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)

=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β=0,

∴(a+b)⊥(a-b).

构建问题（二）：已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)（0＜α＜β＜π）,且｜ka+b｜=｜ka-b｜(k∈R且k≠0),求β-α.

解析：∵ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ)，

ka-b=(kcosα-cosβ,ksinα-sinβ)，

∴｜ka+b｜=，

｜ka-b｜=,

∵｜ka+b｜=｜ka-b｜，

∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α),且k≠0.

∴cos(β-α)=0.

又∵0＜α＜β＜，

∴β-α=.