Question

已知函数f（x）=sin²x+sinxcosx
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的值；
（2）求该函数的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数的解析式整理，进而利用正弦函数的性质求得函数的最大值以及此时x的值．
（2）利用（1）整理的函数的解析式，利用正弦函数的单调性求得函数的递增区间．

解答：解：（1）f(x)=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

1

2

(sin2x-cos2x)+

1

2

f(x)=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，f(x)max=

2 +1

2

．
此时，2x-

π

4

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
x=kπ-

π

8

（k∈Z）
（2）2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

（k∈Z），
f（x）在[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z）单调递增．

点评：本题主要考查了三角函数的最值，正弦函数的单调性，两角和公式的化简求值．解题的关键是对函数解析式的化简整理．