Question

(08年安徽卷理)（本小题满分13分）

设数列满足,其中为实数。

（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是,

(Ⅱ)设,证明：;

(Ⅲ)设,证明：

Answer 1

本题主要考查等比数列的求和、数学归纳法、不等式的性质，综合运用知识分析问题和解决问题的能力.本小题满分13分.

【解析】（Ⅰ）必要性：∵，又∵，∴，即.

充分性：设，对任意用数学归纳法证明.

当时，.

假设当时，，则，且，.

由数学归纳法知，对任意成立.

(Ⅱ) 设，当时，，结论成立；

当时，∵，∴.

∵，由（Ⅰ）知，∴且，

∴，

∴.

(Ⅲ)设,当时，，结论成立；

当时，由(Ⅱ)知，

∴.

∴

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