Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立．
（1）函数是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数，求a的取值范围；
（3）设函数y=2^x图象与函数y=-x的图象有交点，证明：函数f（x）=2^x+x²∈M．

Answer 1

【答案】分析：（1）集合M中元素的性质，即有f（x+1）=f（x）+f（1）成立，代入函数解析式列出方程，进行求解，若无解则此函数不是M的元素，若有解则此函数是M的元素；
（2）根据f（x+1）=f（x）+f（1）和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；
（3）利用f（x+1）=f（x）+f（1）和f（x）=2^x+x²∈M，整理出关于x的式子，利用y=2^x图象与函数y=-x的图象有交点，即对应方程有根，与求出的式子进行比较和证明．
解答：解：（1）若f（x）=∈M，在定义域内存在x，则+1=0，
∵方程x²+x+1=0无解，∴f（x）=∉M；（5分）
（2）由题意得，f（x）=lg∈M，
∴lg+2ax+2（a-1）=0，
当a=2时，x=-；
当a≠2时，由△≥0，得a²-6a+4≤0，a∈．
综上，所求的；（10分）
（3）∵函数f（x）=2^x+x²∈M，
∴-3
=，
又∵函数y=2^x图象与函数y=-x的图象有交点，设交点的横坐标为a，
则，其中x=a+1
∴f（x+1）=f（x）+f（1），即f（x）=2^x+x²∈M．（16分）
点评：本题的考点是元素与集合的关系，此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力．