Question

【题目】已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数）

（1）求的值；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)a=-1,b=1;(2)-1.

【解析】（1）对求导得，根据函数的图象在处的切线为，列出方程组，即可求出的值；（2）由（1）可得，根据对任意恒成立，等价于对任意恒成立，构造，求出的单调性，由， ， ， ，可得存在唯一的零点，使得，利用单调性可求出，即可求出的最大值.

（1）， .

由题意知.

（2）由（1）知： ，

∴对任意恒成立

对任意恒成立

对任意恒成立.

令，则.

由于，所以在上单调递增.

又， ， ， ，

所以存在唯一的，使得，且当时， ， 时， . 即在单调递减，在上单调递增.

所以.

又，即，∴.

∴.

∵，∴ .

又因为对任意恒成立，

又，∴ .