题目内容

如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2，
（1）求证：C1D∥平面ABB1A1；
（2）求二面角D-A1C1-A的余弦值。
解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，
又A1D⊥平面ABCD，如图，以D为原点建立空间直角体系
D-xyz，
在△ADA1中，由已知得A1D=，
∴D(0，0，0)，A1(0，0，)，A(1，0，0)，
C1(-1，1，)，
B1(0，1，)，D1(-1，0，)，B(1，1，0)，
∴=(1，-1，)，
设平面ABB1A1的法向量为m=(x1，y1，z1)，
，
∴C1D平面ABB1A1，
∴C1D∥平面ABB1A1；
（2）设平面A1C1A的法向量为=(x2，y2，z2)，
由，
又平面A1C1D的法向量为=(1，1，0)，
设二面角D-A1C1-A的大小为α，
∴cosα==，
∴二面角D-A1C1-A的余弦值为。
练习册系列答案
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精英家教网如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2．
（Ⅰ）求证：C1D∥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D-A1C1-A的余弦值．
精英家教网如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且∠A1AD=∠A1AB=60°，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是
 
．
精英家教网如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A=2，
（Ⅰ）证明：AC⊥A1B；
（Ⅱ）若棱AA1上存在一点P，使得
AP
=λ
PA1
，当二面角A-B1C1-P的大小为300时，求实数λ的值．
（2013•泉州模拟）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD．
（Ⅰ）从下列①②③三个条件中选择一个做为AC⊥BD1的充分条件，并给予证明；
①AB⊥BC，②AC⊥BD；③ABCD是平行四边形．
（Ⅱ）设四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠BAD为锐角，求平面BDD1与平面BC1D1所成锐二面角θ的取值范围．
（2013•天津）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，
AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B1-CE-C1的正弦值．
（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为
2
6
，求线段AM的长．

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