Question

15．已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}（n∈{N^*}）$的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是10：1
（1）求展开式中各项系数的和
（2）求展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的项
（3）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 由条件求得n=8，令x=1，可得展开式的各项系数的和．再利用通项公式求得展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的项，以及展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

解答 解：∵${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}（n∈{N^*}）$的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是10：1，即 $\frac{{C}_{n}^{4}{•（-2）}^{4}}{{C}_{n}^{2}{•（-2）}^{2}}$=10，
求得n=8，
∴${（\sqrt{x}-\frac{2}{{x}^{2}}）}^{n}$=${（\sqrt{x}-\frac{2}{{x}^{2}}）}^{8}$．
（1）令x=1，可得展开式中各项系数的和为1．
（2）求得它的通项公式为 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（-2）^r•${x}^{4-\frac{5r}{2}}$，令4-$\frac{5r}{2}$=$\frac{3}{2}$，求得r=1，故展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的项为T₂=${C}_{8}^{1}$•（-2）•${x^{\frac{3}{2}}}$=-16${x^{\frac{3}{2}}}$．
（3）根据它的通项公式为 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（-2）^r•${x}^{4-\frac{5r}{2}}$，可得二项式系数最大的项为T₅=${C}_{8}^{4}$•（-2）⁴•x^-6=1120x^-6．
检验可得展开式中系数最大的项为T₇=${C}_{8}^{6}$•（-2）⁶•x^-11．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．