Question

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=与x=1时都取得极值.

(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间;

(2)若对x∈［-1,2］,不等式f(x)＜c²恒成立,求c的取值范围.

Answer 1

解:(1)f(x)=x³+ax²+bx+c,f′(x)=3x²+2ax+b.

由f′(-)=-a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0得

a=,b=-2.

f′(x)=3x²-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:

x	(-∞,-)	-	(-,1)	1	(1,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	?↗	极大值	?↙	极小值	↗?

所以函数f(x)的递增区间是(-∞,-)与(1,+∞),

递减区间是(-,1).

(2)f(x)=x³x²-2x+c,x∈［-1,2］,当x=-时,f(x)=+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值.

要使f(x)＜c²(x∈［-1,2］)恒成立,只需c²＞f(2)=2+c.

解得c＜-1或c＞2.