Question

【题目】如图,直线与圆 且与椭圆相交于两点.

(1)若直线恰好经过椭圆的左顶点,求弦长

(2)设直线的斜率分别为,判断是否为定值,并说明理由

(3)求，面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：(1)由题意设直线由直线与圆相切可得，可得，故分两种情况可求得。（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，得；（ⅱ）当的斜率存在时，设直线 将其代入圆的方程得，根据斜率公式及根与系数的关系计算可得。从而可得。（3）（ⅰ）当斜率不存在或为时，可得。当的斜率存在且不为时，设直线，可求得点B的坐标为

故可得 ，令，则 ，故当 有最小值，且 .

试题解析：

（1）由题意直线斜率存在，设直线

因为直线与圆相切，

所以

解得

当时，由解得，所以

当时，同理

所以。

（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，得；

（ⅱ）当的斜率存在时，设直线

因为直线与圆相切，

所以

整理得所以①，

由消去y整理得，

由直线与圆相交得

设

则 ，②

所以③，

将①②代入③式得

综上可得

（3）由（2）知

法一：（ⅰ）当斜率不存在或为时，可得,

（ⅱ）当的斜率存在且不为时，设直线，

由，解得

所以点A的坐标为

同理点B的坐标为

所以 ，

令，

所以，

故当 有最小值，且 .

综上可得面积的最小值为 。

法二：记直线与圆的切点为

设

所以，

则

所以当时， .