Question

直线l：y=ax+1与双曲线C：3x²-y²=1相交于A，B两点．
（1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点；
（2）是否存在这样的实数a，使A，B关于直线x-2y=0对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把直线l的方程与双曲线的方程联立消去y，根据判别式大于0求得a的范围，根据OA⊥OB，推断出y₁y₂=-x₁x₂．根据韦达定理表示出x₁x₂．进而根据直线方程表示出y₁y₂，代入y₁y₂=-x₁x₂．求得a．
（2）假设这样的点A，B存在，进而可知直线l的斜率，把AB的中点代入直线y=

1

2

x中求得y₁+y₂和x₁+x₂的关系，进而根据（1）中的韦达定理表示出x₁+x₂，联立方程求得a，看结果是否与a=-2矛盾即可．

解答：解：（1）联立方程ax+1=y与3x²-y²=1，消去y得：（3-a²）x²-2ax-2=0（*）
又直线与双曲线相交于A，B两点，3-a²≠0，所以a≠±

3

，∴△＞0?-

6

＜a＜

6

．
又依题OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则y₁y₂=-x₁x₂．
且y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1）=a²x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=-x₁x₂?x₁x₂（1+a²）+a（x₁+x₂）+1=0，而由方程（*）知：x1+x2=

2a

3-a2

，x1x2=

2

a2-3

代入上式得-

2(a1+1)

3-a2

+

2a2

3-a2

+1=0?a2=1?a=±1．满足条件．
（2）假设这样的点A，B存在，则l：y=ax+1斜率a=-2．又AB中点(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)在y=

1

2

x上，则y1+y2=

1

2

(x1+x2)，
又y₁+y₂=a（x₁+x₂）+2，
代入上式知

2a(x1+x2)+4=x1+x2 又x1+x2= 2a 3-a2

?a=6这与a=-2矛盾．
故这样的实数a不存在．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与双曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力．