Question

（2013•枣庄一模）在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答某一道题，已知甲回答对这道题的概率是

3

4

，甲、丙二人都回答错的概率是

1

12

，乙、丙二人都回答对的概率是

1

4

．
（Ⅰ）求乙、丙二人各自回答对这道题的概率；
（Ⅱ）设乙、丙二人中回答对该题的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件A、B、C，则P(A)=

3

4

，且有

P( . A )P( C )= 1 12 P(B)P(C)= 1 4

，解之可得；
（Ⅱ）由题意，X=0，1，2，分别可得所对应的概率，可得X的分布列，由期望的定义可得期望．

解答：解：（Ⅰ）设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件A、B、C，
则P(A)=

3

4

，且有

P( . A )P( C )= 1 12 P(B)P(C)= 1 4

，
故

(1- 3 4 )[1-P(C)]= 1 12 P(B)P(C)= 1 4 .

，解得P(B)=

3

8

，P(C)=

2

3

．                 …（4分）
（Ⅱ）由题意，X=0，1，2，P(X=2)=

1

4

，P(X=0)=P(

.

B

)P(

.

C

)=

5

8

×

1

3

=

5

24

．
P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=

13

24

．
所以随机变量X的分布列为：

X	0	1	2
P	5 24	13 24	1 4

E(X)=0×

5

24

+1×

13

24

+2×

1

4

=

25

24

．                        …（10分）

点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，涉及相互独立事件的概率乘法公式，属中档题．