题目内容
某商场销售某商品的经验表明：某商品每日的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）的关系式为y=5(x-4)2+
，其中1＜x＜4，a为常数；已知销售价格为3元/千克时，每日可售出该商品6千克．
（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为1元/千克，试求销售价格x的值，使每日该商品的利润最大？最大利润是多少元？
| a | x-1 |
（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为1元/千克，试求销售价格x的值，使每日该商品的利润最大？最大利润是多少元？
分析：（1）由题意，x=3时，y=6，代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；
（II）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．
（II）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．
解答：解：（1）由题意，x=3时，y=6，代入y=5(x-4)2+
，可得6=5+
，解得a=2；
（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y=5(x-4)2+
，
∴商场每日销售该商品所获得的利润为f（x）=（x-1）[5(x-4)2+
]=2+5（x-1）（x-4）2
∴f′（x）=5（x-4）2+5（x-1）×2（x-4）=15（x-4）（x-2），
∴1＜x＜2时，f′（x）＞0，2＜x＜4时，f′（x）＜0，
∴，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x=2时，函数f（x）取得极大值，就是最大值，且最大值等于22．
答：当销售价格为2元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
| a |
| x-1 |
| a |
| 2 |
（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y=5(x-4)2+
| 2 |
| x-1 |
∴商场每日销售该商品所获得的利润为f（x）=（x-1）[5(x-4)2+
| 2 |
| x-1 |
∴f′（x）=5（x-4）2+5（x-1）×2（x-4）=15（x-4）（x-2），
∴1＜x＜2时，f′（x）＞0，2＜x＜4时，f′（x）＜0，
∴，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x=2时，函数f（x）取得极大值，就是最大值，且最大值等于22．
答：当销售价格为2元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
点评：本题考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，函数解析式的建立比较容易，属于中档题．
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