Question

已知函数f(x)=

a

•

b

，其中

a

=（2cosx，

3

sinx)，

b

=(cosx，-2cosx)
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间和最小值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=-1，求

b-2c

a•cos(60°+C)

的值．

Answer 1

分析：计算向量的数量积，利用二倍角．两角和的正弦函数化简函数f（x）的表达式，得到一个角的一个三角函数的形式；
（1）借助正弦函数的单调增区间，求函数y=f（x）的单调递增区间．借助正弦函数的最值，求出函数y=f（x）的最小值，以及取得最小值时x的值；
（2）通过f（A）的表达式，可求得A的值，再利用正弦定理化简

b-2c

a•cos(60°+C)

求出表达式的值．

解答：解：（1）函数f(x)=

a

•

b

=(2cosx，

3

sinx)• (cosx，-2cosx)
=2cos2x-2

3

sinxcosx，所以

f(x)=1-2sin(2x- π 6 )， kπ+ π 3 ≤kπ+ 5 6 π，k∈Z，又∵x∈[0，π]

所以函数的单调增区间为

[ π 3 ， 5 6 π]

∴f（x）_min=1-2=-1
（2）∵f（A）=-1，
∴A=

π

3

由正弦定理可知：

b-2c

acos(600+C)

=

sinB-2sinC

sinA( 1 2 cosC- 3 2 sinC)

=

sin(1200-C)-2sinC

3 2 ( 1 2 cosC- 3 2 sinC)

=2．
所以

b-2c

a•cos(60°+C)

为2．

点评：本题主要考查二倍角公式、余弦定理和两角和与差的公式的应用．高考对三角函数的考查以基础题为主，但是这部分公式比较多不容易记忆，也为这一部分增加了难度；考查三角函数的单调性，三角函数的最值，考查计算能力，基本知识的灵活运应能力，考查转化思想．