Question

已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．
（I）求圆C的方程；
（II）若，求实数k的值；
（III）过点（0，1）作直线l₁与l垂直，且直线l₁与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

Answer 1

解：（I）设圆心C（a，a），半径为r．
因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，
所以
解得a=0，r=2，
所以圆C的方程是x²+y²=4．
（II）因为，
所以，∠POQ=120°，
所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，
又，所以k=0。
（III）设圆心O到直线l，l₁的距离分别为d，d₁，四边形PMQN的面积为S．
因为直线l，l₁都经过点（0，1），且l⊥l₁，根据勾股定理，有，
又根据垂径定理和勾股定理得到，，
而，即

当且仅当d₁=d时，等号成立，所以S的最大值为7．