题目内容

已知直线l过点P（-1，-2）
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）若直线l与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB的面积的最小值，并求此时直线l的方程．

（12分）
解：（1）当截距均为0时，直线l过P（-1，-2）及O（0，0）
方程为：y=2x （2分）
当截距不为0时，设l的方程为： $\text{[math]}$
由题意： $\text{[math]}$
∴a=-3
∴l的方程为：x+y+3=0
综上，l的方程为：y=2x或x+y+3=0（6分）
（2）设直线l的方程为 $\text{[math]}$ （a＜0，b＜0）（7分）
∵点P（-1，-2）在直线l上
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ab≥8，当且仅当 $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ 时，取“=”（10分） $\text{[math]}$
∴当a=-2，b=-4时，（S_△AOB）_min=4（11分）
此时直线l的方程为 $\text{[math]}$ ，即2x+y+4=0（12分）
分析：（1）直线l在两坐标轴上的截距相等包括两种情况，一是过原点，一是斜率为-1，分别求出两种情况下直线l的方程，进而得到答案；
（2）由已知中直线l过点P（-1，-2），与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，我们可以设直线l的方程为 $\text{[math]}$ （a＜0，b＜0），进而根据 $\text{[math]}$ ，我们易根据基本不等式，得到△AOB的面积的最小值，即a，b的值，进而得到直线l的方程．
点评：本题考查的知识点是直线的截距式方程，其中（1）的关键是分析出直线l在两坐标轴上的截距相等包括两种情况，一是过原点，一是斜率为-1，在解答时，易忽略直线l过原点这种情况，而错解为x+y+3=0．