Question

关于函数f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②f（x）的最小值是lg2；
③f（x）的递增区间是（-1，0）；
④f（x）没有最大值．
其中正确是

 

（将正确的命题序号都填上）．

Answer 1

分析：根据偶函数的定义，我们可以出①真假，根据基本不等式我们可以求出真数的取值范围，进而得到函数f（x）的值域，判断出②④的真假，根据真数对应函数的单调性，及复合函数单调性的判断法则，我们可以判断出③真假，进而得到答案．

解答：解：函数f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0)，f(-x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0)，即f（-x）=f（x），则函数为偶函数，函数的图象关于y轴对称，故①正确；
∵

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

≥2，故f（x）的最小值是lg2，故②正确；
∵函数t=

x2+1

|x|

的单调递增区间为（-1，0），（1，+∞），故f（x）的递增区间是（-1，0），（1，+∞），故③错误；
∵函数t=

x2+1

|x|

无最大值，故f（x）没有最大值，故④正确；
故答案为：①②④

点评：本题考查的知识点是对数函数图象与性质的综合应用，其中熟练掌握对勾函数，对数函数，复合函数，基本不等式，其中熟练掌握复合函数奇偶性，单调性，值域的求解方法是解答本题的关键，解答中易忽略A是函数的单调区间与函数的单调区间是A的区别，而错解为①②③④