Question

已知函数f（x）=2sin（

1

3

x+φ）（x∈R，-

π

2

＜φ＜0）图象上一个最低点M（-π，-2）
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设α，β∈[0，

π

2

]，f（3α+

π

2

）=

10

13

，f（3β+2π）=

6

5

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（I）把点M（-π，-2）代入，利用所给角的范围即可得出；
（II ）代入并利用平方关系和两角和的余弦公式即可得出．

解答：解：（I）把点M（-π，-2）代入得-2=2sin(

1

3

×(-π)+φ)，
∴sin(φ-

π

3

)=-1，∵-

π

2

＜φ＜0，∴-

5π

6

＜φ-

π

3

＜-

π

3

，
∴φ-

π

3

=-

π

2

，解得φ=-

π

6

．
∴f(x)=2sin(

1

3

x-

π

6

)．
（II）f(3α+

π

2

)=2sin[

1

3

(3α+

π

2

)-

π

6

]=2sinα=

10

13

，∴sinα=

5

13

．
∵α∈[0，

π

2

]，∴cosα=

1-sin2α

=

12

13

．
f（3β+2π）=2sin[

1

3

(3β+2π)-

π

6

]=2sin(β+

π

2

)=2cosβ=

6

5

，
∴cosβ=

3

5

，∵β∈[0，

π

2

]，∴sinβ=

4

5

．
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

12

13

×

3

5

-

5

13

×

4

5

=

16

65

．

点评：考查三角函数的图象与性质、同角三角函数的关系、诱导公式、和角公式；考查基本运算能力、数形结合思想．