题目内容
已知函数f（x）=sinx+cosx．
（Ⅰ）若f(x)=2f(-x)，求
的值；
（Ⅱ）求函数F（x）=f（x）•f（-x）+f2（x）的最大值和单调递增区间．
（Ⅰ）若f(x)=2f(-x)，求
| cos2x-sinxcosx | 1+sin2x |
（Ⅱ）求函数F（x）=f（x）•f（-x）+f2（x）的最大值和单调递增区间．
分析：（I）首先得出f（-x）=cosx-sinx，进而化简sinx+cosx=2（cosx-sinx）得出tanx的值，然后将所求式子中的“1”用sin2x+cos2x替换，再分子分母同时除以cos2x，即可求出结果；
（II）先求出F（x）=cos2x+sin2x+1=
（2x+
）+1，然后就可以求出最大值和单调区间．
（II）先求出F（x）=cos2x+sin2x+1=
| 2 |
| π |
| 4 |
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sinx+cosx，∴f（-x）=cosx-sinx．…（1分）
又∵f（x）=2f（-x），
∴sinx+cosx=2（cosx-sinx）且cosx≠0⇒tanx=
．…（3分）
∴
=
=
=
；…（6分）
（Ⅱ）由题知F（x）=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx⇒F（x）=cos2x+sin2x+1⇒F(x)=
sin(2x+
)+1…（10分）
∴当sin(2x+
)=1时，F(x)max=
+1．…（11分）
由-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ解得，单调递增区间为 [-
+kπ，
+kπ](k∈Z)．…（12分）
又∵f（x）=2f（-x），
∴sinx+cosx=2（cosx-sinx）且cosx≠0⇒tanx=
| 1 |
| 3 |
∴
| cos2x-sinxcosx |
| 1+sin2x |
| cos2x-sinxcosx |
| 2sin2x+cos2x |
| 1-tanx |
| 2tan2x+1 |
| 6 |
| 11 |
（Ⅱ）由题知F（x）=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx⇒F（x）=cos2x+sin2x+1⇒F(x)=
| 2 |
| π |
| 4 |
∴当sin(2x+
| π |
| 4 |
| 2 |
由-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
点评：此题考查了三角函数的化简求值以及复合函数的单调性，熟练掌握公式是解题的关键，同时注意“1”和sin2x+cos2x的灵活转化，属于中档题．
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