Question

已知等差数列{a_n}满足a₂=0，a₇+a₉=-12．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前20项的和S₂₀．
（2）设bn=an•

1

2n-1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得等差数列{a_n}的公差d及首项a₁，从而可求数列{a_n}的通项公式及前20项的和S₂₀．
（2）易求b_n=a_n•

1

2n-1

=

2-n

2n-1

，利用错位相减法即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵等差数列{a_n}中，a₇+a₉=-12，
∴2a₂+12d=-12，又a₂=0，
∴d=-1，
∴a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）×（-1）=2-n．
∴S₂₀=

(a1+a20)×20

=

(1-18)×20

2

=-170．
（2）∵b_n=a_n•

1

2n-1

=

2-n

2n-1

，
∴T_n=1+0-

1

22

-

2

23

-

3

24

-…-

n-2

2n-1

，①
∴

1

2

T_n=

1

2

-

1

23

-

1

24

-…-

n-2

2n

，②
①-②得：

1

2

T_n=1-

1

2

-

1

22

-

1

23

-…-

1

2n-1

+

n-2

2n

=1-

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

+

n-2

2n

=

1

2n-1

+

n-2

2n

，
∴T_n=

n

2n

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式、求和公式的应用，突出考查错位相减法求和，属于中档题．