Question

（2012•信阳模拟）已知定点A（-1，0）、B（1，0），动点M满足：

AM

•

BM

等于点M到点C（0，1）距离平方的k倍．
（Ⅰ）试求动点M的轨迹方程，并说明方程所表示的曲线；
（Ⅱ）当k=2时，求|

AM

+2

BM

|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）先设M（x，y），可求

AM

，

BM

，结合题意可知

AM

•

BM

=k

MC

2，代入睁开可求点M的轨迹方程
（II）当k=2时，由（I）可得方程可化为x²+（y-2）²=1，而|

AM

+2

BM

|=

(3x-1)2+9y2

，结合M的参数方程可求满足题意的最值

解答：解：（I）设M（x，y），则

AM

=（x+1，y），

BM

=（x-1，y）
由题意可得，

AM

•

BM

=k

MC

2
即（x+1，y）•（x-1，y）=k[x²+（y-1）²]
整理可得，（1-k）））x²+（1-k）y²+2ky=1+k即为所求的动点轨迹方程
①k=1时，方程化为y=1，表示过（0，1）且与x轴平行的直线
②当k≠1时，方程可化为x2+(y+

k

1-k

)2=

1

(1-k)2

表示以（0，

k

k-1

）为圆心，以|

1

1-k

|为半径的圆
（II）当k=2时，方程可化为x²+（y-2）²=1
|

AM

+2

BM

|=

(3x-1)2+9y2

=

9x2-6x+1+9y2

=

9(x2+y2)-6x+1

=

9(4y-3)-6x+1

=

36y-6x-26

设

x=cosθ y=2+sinθ

则|

AM

+2

BM

|=

46+36sinθ-6cosθ

=

46+6 37 sin(θ+α)

sinα=- 1 37 cosα= 6 37

∴

37

-3=

46-6 37

≤|

AM

+2

BM

|≤

46+6 37

=

37

+3
∴求|

AM

+2

BM

|的最大值为3+

37

，最小值

37

-3

点评：本题主要考查了向量的数量的性质的应用及点的轨迹方程的求解，圆的 参数方程的求解等知识的综合应用