Question

函数f（x）=ax³+（a-1）x²+48（b-3）x+b的图象关于原点中心对称，则f（x）

1. A.
   有极大值和极小值
2. B.
   有极大值无极小值
3. C.
   无极大值有极小值
4. D.
   无极大值无极小值

Answer 1

A
分析：先将函数化简，再研究导函数为0的方程的根的情况，从而判断函数的极值情况．
解答：由题意，∵函数f（x）=ax³+（a-1）x²+48（b-3）x+b的图象关于原点中心对称，
∴f（0）=0
∴b=0
∴f（x）=ax³+（a-1）x²+144x
∴f′（x）=3ax²+2（a-1）x+144
∴3ax²+2（a-1）x+144=0的根的判别式为△=4（a-1）²-12a×144=4（a²-434a+1）
∵△^′=434²-4＞0
∴3ax²+2（a-1）x+144=0有两个不相等的实数根
∴f（x）有极大值和极小值．
故选A．
点评：本题考查的重点是函数的极值，解题的关键是判断导函数为0的方程有两个不同的实数根