Question

设函数f（x）=ax³-3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，求实数a的值．

Answer 1

分析：求出f′（x）=0时x的值，讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，让最小值大于等于0即可求出a的范围．

解答：解：f′（x）=3ax²-3，当a≤0时3ax²-3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0，即可，解得a≥2，与已知矛盾，
当a＞0时令f′（x）=3ax²-3=0解得x=±

a

a

，
①当x＜-

a

a

时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，
②当-

a

a

＜x＜

a

a

时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，③当x＞

a

a

时，f（x）为递增函数．
所以f（x）_min=f（

a

a

）≥0，得a•(

a

a

)3-3•

a

a

+1≥0，解得a≥4，且f（-1）≥0，可得a≤4，且f（1）≥0，
解得2≤a≤4，
综上a=4为所求．

点评：考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及利用导数求函数最值的能力．