Question

已知数列{a_n}的前n和S_n满足：S₁=-1，S_n+1+2S_n=-1（n∈N^*）数列{b_n}的通项公式为bn=3n-4（n∈N^*）
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）试比较a_n与b_n的大小；
（III）某圆的圆心C在x轴上，问点列{An（b_n，a_n）}：A₁（b₁，a₁），A₂（b₂，a₂），…，A_n（b_n，a_n）中是否至少存在三点落在圆C上？说明理由．

Answer 1

分析：（I）S_n+1+2S_n=-1，再写一式S_n+2+2S_n+1=-1，两式相减整理得a_n+2=-2a_n+1从而可知数列{a_n}是首项为-1，公比为-2的等比数列，故可求其通项公式
（II）由于a₁=-1，b₁=-1；a₂=2，b₂=2；a₄=8，b₄=8；∴当n=1，2，4时，a_n=b_n，再考虑n=2k+1时，a_n＜b_n；当n=2k（k≥3）时，a_n＞b_n即可；
（III）假设存在，利用圆心C在x轴上，故可设圆C的方程为：x²+y²+Dx+F=0，代入化简可证．

解答：解：（I）∵S_n+1+2S_n=-1，∴S_n+2+2S_n+1=-1，两式相减整理得a_n+2=-2a_n+1…（2分）又a₁=S₁=-1，a₂=-2a₁，∴数列{a_n}是首项为-1，公比为-2的等比数列，其通项公式是a_n=-（-2）^n-1（n∈N^*）    …（4分）
 （II）（1）a₁=-1，b₁=-1；a₂=2，b₂=2；a₄=8，b₄=8；∴当n=1，2，4时，a_n=b_n …（6分）
（2）当n=2k+1时，a_2k+1=-（-2）^2k＜0，b_2k+1=6k-1＞0，∴a_n＜b_n…（7分）
（3）当当n=2k（k≥3）时a_2k=2^2k-1≥16（C_2k-5⁰+C_2k-5¹）=32k-64，b_2k=6k-4，∴a_n-b_n≥26k-60≥18＞0即a_n＞b_n…（9分）
（III）假设点列{An（b_n，a_n）}中存在三点A_n（3n-4，-（-2）^n-1），A_m（3m-4，-（-2）^n-1），A_k（3k-4，-（-2）^k-1）（n＞m＞k≥1）落在圆C上．
因圆心C在x轴上，故可设圆C的方程为：x²+y²+Dx+F=0．…（10分）
从而9n²-24n+16+4^n-1+（3n-4）D+F=0    ①
9m²-24m+16+4^m-1+（3m-4）D+F=0        ②
9k²-24k+16+4^k-1+（3k-4）D+F=0          ③
由①-②，②-③得9（n+m）（n-m）-24（n-m）+（4^n-1-4^m-1）+3（n-m）D=0④
9（m+k）（m-k）-24（m-k）+（4^m-1-4^k-1）+3（m-k）D=0        ⑤
由④-⑤整理得9(n-k)+

4k-1

(n-m)(m-k)

[

1

(m-k)(n-k)

(

4n-k

n-k

-

4m-k

m-k

)+(n-m)]=0，∵n＞m＞k≥1，∴

4n-k

n-k

＜

4m-k

m-k

…（12分）
作函数f(x)=

4x

x

(x≥1)由f/(x)=

4x(xln4-1)

x2

＞0(x≥1)知函数f(x)=

4x

x

(x≥1)是增函数．产生矛盾．
故点列{An（b_n，a_n）}中不存在三点落在圆C上．…（14分）

点评：本题第（I）问是常规题，（III）有一定的技巧与难度，属于中档题．