题目内容

已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期为π，其图象的一条对称轴是直线 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求ω，φ；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

（Ⅰ）由题意可得 $\text{[math]}$ =π，∴ω=2．
∵图象的一条对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，
∴2cos（2× $\text{[math]}$ +φ）=±2．
再由，-π＜φ＜0可得 φ=- $\text{[math]}$ ，
∴函数f（x）=2cos（2x- $\text{[math]}$ ）．
（Ⅱ）令 2kπ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+π，k∈z，解得 kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，故函数的减区间为[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（Ⅲ）列表：

x	0	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	π
2x- $\text{[math]}$	- $\text{[math]}$	0	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	π	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
f（x）	$\text{[math]}$	2	$\text{[math]}$	0	$\text{[math]}$	-2	- $\text{[math]}$	0	$\text{[math]}$

画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象，如图所示：

分析：（Ⅰ）由周期求得ω=2，由图象的对称轴方程以及φ的范围求出 φ=- $\text{[math]}$ ，从而得到函数f（x）=2cos（2x- $\text{[math]}$ ）．
（Ⅱ）令 2kπ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+π，k∈z，求出x的范围，即可求得函数的减区间．
（Ⅲ）列表，根据列表画出函数的图象．
点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，属于中档题．