Question

(2007浙江，22)设，对任意实数t，记．

(1)求函数的单调区间；

(2)求证：①当x＞0时，对任意正实数t成立；

②有且仅有一个正实数，使得对任意正实数t成立．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)．由，得x=±2． 因为当x(－∞，－2)时，＞0， 当x(－2，2)时，＜0，当x(2，＋∞)时，＞0， 故所求函数的单调递增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间是(－2，2)． (2)①令， 则，当t＞0时，由，得． 当时，，当时，h(x)＞0， 所以h(x)在(0，＋∞)内的最小值是， 故当x＞0时，对任意正实数t成立． ②，由①得，对任意正实数t成立，即存在正实数，使得对任意正实数t成立．下面证明的唯一性：当，，t=8时，，． 由①得，，再取，得， 所以， 即时，不满足对任意t＞0都成立． 故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数t成立．

提示：

剖析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基本知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．