Question

已知点P_n（a_n，b_n）满足a_n+1=a_n•b_n+1，b_n+1=（n∈N^*）且点P₁的坐标为（1，-1）．
（1）求过点P₁，P₂的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N^*，点P_n都在（1）中的直线l上．

Answer 1

【答案】分析：（1）由P₁的坐标为（1，-1）可得a₁=1，b₁=-1，只要求出点P₂的坐标即可求出过点P₁，P₂的直线l的方程；
（2）利用数学归纳法进行证明；
解答：解：（1）由P₁的坐标为（1，-1）知
a₁=1，b₁=-1．
∴b₂==．
a₂=a₁•b₂=．
∴点P₂的坐标为（，）
∴直线l的方程为2x+y=1．

（2）①当n=1时，
2a₁+b₁=2×1+（-1）=1成立．
②假设n=k（k∈N^*，k≥1）时，2a_k+b_k=1成立，
则2a_k+1+b_k+1=2a_k•b_k+1+b_k+1=（2a_k+1）
===1，
∴当n=k+1时，命题也成立．
由①②知，对n∈N^*，都有2a_n+b_n=1，
即点P_n在直线l上．
点评：此题考查直线的两点式，关键是求出点P₁，P₂的坐标；第二问考查数学归纳法，记住其一般步骤：（1）当n=1时，显然成立．（2）假设当n=k时（把式中n换成k，写出来）成立，则当n=k+1时，（这步比较困难，化简步骤往往繁琐，考试时可以直接写结果）该式也成立．由（1）（2）得，原命题对任意正整数均成立．