Question

【题目】如图所示，矩形和矩形所在平面互相垂直，与平面及平面所成的角分别为，，、分别为、的中点，且.

（1）求证：平面；

（2）求线段的长；

（3）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由面面垂直的性质定理易得面；由中位线定理可得，所以有面；（2）利用直角三角形中的边角关系求得，在中,由勾股定理求得的长；（3）过 作于点,过作于,连,由三垂线定理可证为所求二面角的平面角,用面积法求出和,由 求得二面角的平面角的正弦值.

试题解析：（1）证明：因为面面，面面，，所以面.

因为，分别为，的中点，所以，故面.………………（4分）

（2）由（1）可知为与面所成角，，

在直角三角形中，，，所以.

又面面，面面，

，所以面.

所以为与面所成角，，

因此，在直角三角形中，.

在直角三角形中，.………………（8分）

（3）如图，过作于点，过作于点，连接.

因为面，面，

所以.

又，，所以面，

面，故，

又，，所以面.

面，故，又，

因此为所求二面角的平面角.

在直角三角形中，由面积相等有，得

在直角三角形中，同理可得.

.………………（12分）