题目内容

已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=cos3x，h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）的单调递增区间．

解：（1）∵T=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴ω= $\text{[math]}$ =3，
∴f（x）=2sin（3x+φ）．
∵点（ $\text{[math]}$ ，2）在图象上，
∴2sin（3× $\text{[math]}$ +φ）=2，即sin（φ+ $\text{[math]}$ ）=1，
∴φ+ $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z），即φ=2kπ+ $\text{[math]}$ ．
故f（x）=2sin（3x+ $\text{[math]}$ ）．（6分）
（2）h（x）=2sin（3x+ $\text{[math]}$ ）cos3x
=2（sin3xcos $\text{[math]}$ +cos3xsin $\text{[math]}$ ）cos3x
= $\text{[math]}$ （six3xcos3x+cos²3x）
= $\text{[math]}$ （sin6x+cos6x+1）
=sin（6x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．
由2kπ- $\text{[math]}$ ≤6x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）得函数h（x）的单调递增区间为[ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ]（k∈Z）．（12分）
分析：（1）由图可求得其周期T，继而可求得ω，再利用点（ $\text{[math]}$ ，2）在图象上可求得φ，从而可求得其解析式；
（2）利用三角函数间的关系及倍角公式，辅助角公式可求得h（x）=sin（6x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，利用正弦函数的单调性即可求得h（x）的单调递增区间．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数中的恒等变换应用及正弦函数的单调性，考查化归思想与综合运算能力，属于难题．