Question

如图，设A(

3

2

，

1

2

)是单位圆上一点，一个动点从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B，t秒时动点到达点P．设P（x，y），其纵坐标满足y=f(t)=sin(ωt+φ)(-

π

2

＜φ＜

π

2

)．
（1）求点B的坐标，并求f（t）；
（2）若0≤t≤6，求

AP

•

AB

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数定义求出函数f（x）的表达式，然后求点B的坐标，并求f（t）；
（2）若0≤t≤6，利用向量数量积的定义即可求

AP

•

AB

的取值范围．

解答：解：（1）当t=2时，∠AOB=2×

2π

12

=

π

3

，
∴∠XOB=

π

2

∴，点B的坐标是（0，1）…（2分）
又t秒时，∠XOP=

π

6

+

π

6

t…（4分）
∴y=sin(

π

6

t+

π

6

)，(t≥0)．…（6分）
（2）由A(

3

2

，

1

2

)，B（0，1），得

AB

=(-

3

2

，

1

2

)，
又P(cos(

π

6

t+

π

6

)，sin(

π

6

t+

π

6

))，
∴

AP

=(cos(

π

6

t+

π

6

)-

3

2

，sin(

π

6

t+

π

6

)-

1

2

)，…（8分）
∴

AP

•

AB

=

3

4

-

3

2

cos(

π

6

t+

π

6

)-

1

4

+

1

2

sin(

π

6

t+

π

6

)=

1

2

+sin(

π

6

t+

π

6

-

π

3

)=

1

2

+sin(

π

6

t-

π

6

)…（10分）
∵0≤t≤6，
∴

π

6

t-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(

π

6

t-

π

6

)∈[-

1

2

，1]…（12分）
∴，

AP

•

AB

的取值范围是[0，

3

2

]…（14分）

点评：本题主要考查三角函数的定义和性质，以及平面向量的数量积运算，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，考查学生的运算能力．