[题目]已知椭圆: ()的左右焦点分别为. .短轴两个端点为. .且四边形是边长为的正方形.(1)求椭圆的方程,(2)已知圆的方程是.过圆上任一点作椭圆的两条切线. .求证: 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，短轴两个端点为，，且四边形是边长为的正方形。

（1）求椭圆的方程；

（2）已知圆的方程是，过圆上任一点作椭圆的两条切线，，求证：

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析：（1）由题意可知：，，，所以，从而可得椭圆的方程；

（2）设，若过点的切线斜率都存在，设其方程为，与椭圆方程联立可得：，由相切可知：，即，结合维达定理可得：，再利用点在椭圆上，易得，从而得证.

试题解析：

解：（1），，，所以

所以椭圆的方程为

（2）设，若过点的切线斜率都存在，设其方程为

有得

因为直线与椭圆相切，所以

整理得

设椭圆的两条切线的斜率分别为，，由韦达定理，

因为点在圆上，所以，即

所以，所以

特别的，若过点的的切线有一条斜率不存在，不妨设为，则该直线的方程为，则的方程为，所以

综上所述，对于任意满足题设的点，都有

练习册系列答案

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